Numerotaidottomuus- mikä on miljoonan ja miljardin ero?

Numerotaidottomuus

John Allen Paulos on kirjoittanut kirjan Innumerancy 1989, joka suomennettu Klaus Valan toimesta 1991 (Arthouse, Juva). Kirjan suomalainen nimi on Numerotaidottomuus - Matemaattinen lukutaidottomuus ja sen seuraukset.

J A Paulos (JAP) on Temple-yliopiston matematiikan professori, joka pyrkii tekemään matematiikkaa tutummaksi.

JAP aloittaa kirjansa: " Numerotaidottomuus, kyvyttömyys ymmärtää lukujen ja sattuman peruskäsitteitä, vaivaa aivan liian monia, muissa suhteissa täysjärkisiä kansalaisia." Hänen mukaansa ihmiset yleensä pyrkivät salaamaan vajavuutensa, mutta matemaattisella taitamattomuudella sen sijaan usein ylpeillään. Hänestä on surullista, että merkittävä osa aikuisväestöstä yhä uskoo tarot-kortteihin, meedioihin ja kristallipalloon.

Poliitikoista on harvoin apua, koska he ovat riippuvaisia yleisestä mielipiteestä ja sen tähden haluttomia selvittämään lähes kaikkiin toimintasuunnitelmiin liittyviä vaaroja ja lehmänkauppoja.

JAP käyttää kirjassaan matemaattista esitystapaa, joka ei hänen mukaansa vaadi kuin joitakin tilastotieteen ja todennäköisyyslaskennan peruskäsitteitä, eli tervettä järkeä ja aritmetiikkaa.

JAPn mukaan numerotaidottomille ihmisille on luonteenomaista voimakas taipumus korostaa omaa persoonaansa, joutua kokemustensa tai tiedotusvälineiden suosiman yksilökeskeisyyden tai dramatiikan harhauttamaksi.

JAP kertoo professorina hämmästyvänsä, kun tapaa opiskelijoita, joilla ei ole aavistustakaan Yhdysvaltojen väkiluvusta.

Hänen mukaansa jollei jonkun verran käsitä suuria lukuja, on mahdotonta suhtautua asianmukaisen skeptisesti kauhistuttaviin selostuksiin, joiden mukaan uutisissa kerrotaan esim. enemmän kuin miljoona amerikkalaista lasta kidnapataan joka vuosi.
Paljonko kuoli Vietnamin sodassa verrattuna vuosittaiseen auto-onnettomuuskuolleisuuteen?

Jos ei ole sormituntumaa todennäköisyyteen, liikenneonnettomuudet saattavat tuntua suhteellisen pieneltä paikallisliikenteen ongelmalta, kun esim. Vietnamin sodassa kuolleiden amerikkalaisten määrä suurelta. Amerikan maanteillä (1989) kuoli vuosittain 45 000 ihmistä, mikä vastaa kaikkien Vietnamissa kuolleiden amerikkalaisten määrää.

Amerikkalaisen riski joutua terrorismin uhriksi oli 1989 1/1.6 miljoonaa. Vuotuisiin tilastoarvoihin verrattuna on riski: 1/68000 tukehtuu kuoliaaksi, 1/75000 kuolla polkupyöräonnettomuudessa, 1/20000 hukkua ja 1/5300 kuolla auto-onnettomuudessa.

JAPn mukaan numerotaidoton vastaa:" niin, entäpä jos se sattuu omalle kohdalle?". Sitten he nyökkäävät tietäväisen näköisinä ikään kuin he olisivat tehneet teidän perustelunne tyhjäksi terävällä huomiokyvyllään.
Tämä taipumus suhtautua asioihin itsekeskeisesti on luonteenomaista numerotaidottomille ihmisille.

Monet sivistyneet ihmiset eivät tiedä, että miljoona on 1 000000, miljardi 100000000 ja biljoona 1000000000000.

JAP kertoo, että monen lääkärin arvioinnit leikkausten, toimenpiteiden ja lääkityksen riskeistä (jopa heidän erikoisalallaan) ovat kaukana totuudesta, usein monen suuruusluokan päässä.

Tieteellistä merkintätapaa käyttäen ihmisen hius kasvaa noin 1,6 x 10 potenssiin -8   km/ tunnissa, mikä tavallisemmin merkitään 0,000000016 km/ t.  250000 amerikkalaista kuolee joka päivä. 500 000000000 savuketta poltetaan joka vuosi.

JAPn mukaan miljoonan ja miljardin sekä biljoonan suhteellista eroa voi kuvata: Miljoonan sekunnin tikitykseen kuluu noin 11 ja puoli päivää. Miljardin sekunnin kulumiseen kuluu melkein 32 vuotta.
Homo Sapiens on 10 biljoonaa sekuntia vanha (1989).

Maanviljelyä on ollut 300 miljardia sekuntia (10 000 vuotta), kirjoitusta noin 150 miljardia sekuntia (5000 vuotta) ja rockmusiikkia noin miljardin sekunnin ajan (32 vuotta).

1989 Yhdysvaltain liittovaltion biljoonan dollarin budjetti. Tuolloin 250 miljoonaa ihmistä, liittovaltion puolustusministeriön vuosibudjetista, joka käsitti kolmasosan koko vuosibudjetista, mikä teki 5000 dollaria nelihenkistä perhettä kohti. Mitä, JAP kysyy, niillä kaikilla kustannuksilla on saatu aikaan?

Tuolloin 1989 maailman kaikkien ydinaseisen teho vastaa 25000 megatonnia eli 25 biljoonaa kiloa trotyyliä, ts. 5000 kiloa jokaista miestä, naista ja lasta kohtaan. Vain yhden Trident sukellusveneen ydinaseet sisältävät 8 kertaa koko toisessa maailmansodassa käytetyn tulivoiman määrän.


100 000 sanaa on melko laajan romaanin sanojen lukumäärä



JAP suorittaa laskutehtävän maailmassa kaiken ihmisveren määrästä. Koko maailman veri 1989 mahtuisi kuutioon, jonka särmä on noin 270 metriä. New Yorkin keskuspuiston pinta-ala on 340 hehtaaria eli 3,4 neliökilometriä. Jos Central Parkin ympärille rakennettaisiin seinämät, kaikki ihmisveri peittäisi puiston noin kuuden metrin syvyisenä.

Jos kaikki veri laitettaisiin Kuolleeseen mereen (pinta-ala 1000 neliökilometriä), niin pinta kohoaisi vain kaksi senttimetriä.

JAP käy käsiksi kirjallisuudessa esitettyihin lukuihin: Raamatussa ensimmäinen Mooseksen kirja kertoo vedenpaisumuksesta, että " kaikki korkeat vuoret taivaan alla peittyivät...". Kirjaimellisesti ottaen tämä näyttää osoittavan, että maan pinnalla oli 3000–6000 metriä vettä, mikä vastaa enemmän kuin 2 miljardia kuutiokilometriä nestettä. Koska Raamatun kertomusten mukaan satoi 40 päivää ja 40 yötä eli noin 960 tuntia, sadetta on täytynyt tulla noin viiden metrin tuntinopeudella.

JAP tähdentää, että informaatio voidaan tarvittaessa poimia mitä niukimmista numeerisista faktoista, ja väitteitä voidaan kumota yksinomaan kylmien lukujen perusteella.

Jos ihmiset pystyisivät arvioimaan paremmin ja tekemään yksinkertaisia laskutoimituksia, he tekisivät (tai eivät tekisi) monia ilmiselviä johtopäätöksiä eikä heillä olisi niin paljon järjettömiä käsityksiä.

Arkhimedes kertoi lukujen perusominaisuuksista: jokainen luku, kuinka suuri tahansa, voidaan ylittää laskemalla yhteen riittävän monta kertaa jokin mielivaltainen positiivinen luku, olkoonpa se kuinka pieni hyvänsä.
Tämä johti Arkhimedeen julistamaan: Jos hänelle annetaan kiinteä piste, tarpeeksi pitkä vipu ja paikka, missä seistä, hän pystyy yksin nostamaan maapallon.

Pienten määrien yhteenlaskettavuus: pienet hiuskiinneaerosolit ovat osallisia ilmakehän otsonikerroksen vähenemisessä ja oma auto happosadeongelmassa.

Pyramidit rakennettiin kivi kerrallaan hyvin paljon lyhyemmässä ajassa kuin ne 5000–10000 vuotta joka tarvittaisiin siirtämään kuorma-autoilla 3600 metriä korkea Fuji-vuori.

Maailmankaikkeus on pallo, jonka halkaisija on 40 miljardia valovuotta. Protonien ja neuronien, atomien ytimien rakenneosia, halkaisija on 10 potenssiin -12 cm. Maailmankaikkeuteen mahtuu vähemmän kuin 10 potenssiin 125 atomien rakenneosaa.


Kokoluokassaan virus on suhteessa ihmiseen, kuin ihminen maapalloon


JAPn mukaan numerotaidoton jättää väliin silloin tällöin esiintyvän vaikean kohdan.

Tulosääntö ilmaisee, että jos jokin valinta voidaan tehdä M:llä tavalla ja jokin toinen, sitä seuraava N:llä tavalla, niin on olemassa Mx N eri tapaa, joilla nämä valinnat voidaan tehdä peräkkäin. Siis jos naisella on viisi puseroa ja kolme hametta, niin hänellä on 5x 3 =15 vaihtoehtoista asua.

Jos ruokalistalla on neljä alkupalaa, seitsemän pääruokaa ja kolme jälkiruokaa, ruokailija voi suunnitella 4x7x3=84 eri päivällistä, edellyttäen että hän tilaa kolmen lajin aterian.

Samoin käy, kun heitetään kahta noppaa. Mahdollisten tulosten lukumäärä on 6x6=36, sillä jokainen ensimmäisen nopan kuudesta numerosta voidaan yhdistää jokaiseen toisen nopan kuuteen numeroon.

Sellaisten mahdollisten tulosten lukumäärä, jossa toinen noppa eroaa ensimmäisestä, on 6x5=30, sillä jokainen ensimmäisen nopan kuudesta numerosta voidaan yhdistää jokaiseen toisen nopan jäljellä olevaan viiteen numeroon.

Tulosääntö on korvaamaton, kun lasketaan suuria lukuja

JAP kertoo esimerkin silloisesta Yhdysvaltojen lotosta, jossa voittajan täytyy valita kuusi numeroa 40 mahdollisuudesta. Jos otamme huomioon, missä järjestyksessä nämä kuusi numeroa valitaan, on olemassa (40x39x38x37x36x35)= 2 763 633 600 tapaa valita ne. Jos meitä kiinnostaa vain noiden kuuden numeron joukko (kuten lotossa on tapana) silloin jaamme 2763633600 luvulla 720 ja saamme sellaisten joukkojen lukumääräksi 3 838 380. Jakaminen on tarpeellista koska on olemassa 720 = 6x5x4x3x2x1 tapaa asettaa kuusi lukua peräkkäin.

Kortinpeluussa mahdollisten viiden kortin pokerikäsien lukumäärä on: viisi korttia voidaan jakaa eri tavalla 52x51x50x49x48=311875200, jos korttien jakojärjestys on oleellinen. Koska niin ei ole, jaamme tulon luvulla (5x4x3x2x1=120) ja toteamme, että mahdollisia viiden kortin yhdistelmiä on 2 598 960. Kun tämä luku on tiedossa, voidaan laskea useita käytännöllisiä todennäköisyyksiä.
Todennäköisyys saada neljä ässää on 48/2598960=1/50000, sillä on 48 mahdollista tapaa saada neljä ässää, vastaten niitä 48: aa korttia, joista jokainen voisi olla viidentenä korttina sellaisessa yhdistelmässä.

Ns. binomikertoimet tulevat käyttöön, kun haluamme tietää, kuinka monella tavalla voidaan valita R elementtiä N:stä elementistä ja meitä ei kiinnosta valittujen R:n elementtien järjestys.
Lotto (kuusi numeroa neljästäkymmenestä) 40x39x38x37x36x35/6x5x4x3x2x1 eri tapaa valita kuusi numeroa 40:stä ja 52x51x50x49x48/5x4x3x2x1 erilaista pokerikättä.

Suomessa nykyisin pelattavassa lotossa valitaan seitsemän numeroa 39:stä eli binomikerroin 39x38x37x36x35x34x33/7x6x5x4x3x2x1= 7751992480/5040= 1538093,74603 ja
mahdollisia rivejä kirjan mukaan on 20 507 916.

Viking-lotossa kuusi numeroa 48:sta eli binomikerroin 48x47x46x45x44x43/6x5x4x3x2x1= 8835488640/720= 12271512.

JAP mukaan tulosäännön kaltaista periaatetta voidaan käyttää todennäköisyyslaskennassa. Jos kaksi tapahtumaa on siinä mielessä riippumattomia, ettei kummallakaan ole mitään vaikutusta toiseen, silloin todennäköisyys, että ne molemmat tapahtuvat, saadaan kertomalla keskenään kummankin tapahtuman todennäköisyydet.

Esim. Todennäköisyys saada lantin heitossa kaksi kruunaa kahdella heitolla on 1/2x1/2= 1/4, sillä neljästä yhtä todennäköisestä mahdollisuudesta klaava-klaava, klaava-kruuna, kruuna-klaava, kruuna-kruuna, yksi on kaksi kruunaa. Samasta syystä todennäköisyys saada lantin heitossa viisi kruunaa peräkkäin on (1/2) potenssiin 5= 1/32, sillä yksi 32:sta yhtä todennäköisestä mahdollisuudesta on viisi peräkkäistä kruunaa.

Todennäköisyys, että rulettipyörä pysähtyy punaiselle on 18/38 (Yhdysvalloissa). Rulettipyörän pyörähdykset ovat riippumattomia toisistaan. Todennäköisyys sille, että pyörä pysähtyy punaiselle viidellä peräkkäisellä pyörähdyksellä on (18/38) potenssiin 5 eli noin 0,024.

Tapahtumien riippumattomuus on hyvin tärkeä käsite todennäköisyyslaskennassa ja kun se on voimassa, tulosääntö yksinkertaistaa laskujamme huomattavasti

Yksi varhaisimmista todennäköisyyslaskentaan liittyvistä probleemoista esitti peluri Antoine Gombaund, Chevalier de Mere, ranskalaiselle matemaatikko-filosofille Pascalille. Kumpi on todennäköisempää: saada yhdellä ainoalla nopalla ainakin yksi kuutonen neljällä heitolla vai saada ainakin yhden kerran 12 heittämällä kahta noppaa 24 kertaa?
Probleeman ratkaisuun riittää todennäköisyyksien tulosääntö, jos muistamme, että todennäköisyys sille, että tapahtuma ei esiinny on sama kuin 1 miinus todennäköisyys sille, että se esiintyy (20 % todennäköisyys sateelle merkitsee samaa kuin 80 % todennäköisyys poutasäälle).

5/6 on todennäköisyys sille, ettei yhdellä ainoalla nopan heitolla saa kuutosta, 5/6 potenssiin neljä on todennäköisyys sille, että neljällä nopan heitolla ei saa kuutosta. Näin ollen tämän luvun vähentäminen 1:stä antaa meille todennäköisyyden sille, että tämä jälkimmäinen tapahtuma (ei kuutosia) ei tapahdu, ts. Ainakin yhden kuutosen heittäminen neljällä yrityksellä on 1- 5/6 potenssiin neljä eli noin 0,52. Samoin huomaamme, että todennäköisyys saada kahden nopan 24 heitolla ainakin yksi 12 on 1-(35/36) potenssiin 24 eli noin 0,49.

1989 todennäköisyys Yhdysvalloissa saada AIDS partnerilta (jolla on AIDS) heteroseksuaalisessa yhdynnässä, yhdessä ainoassa ilman ehkäisyvälineitä on tutkimusten mukaan 1/500, todennäköisyys sille, ettei tule on 499/500.

Jos nämä riskit ovat riippumattomia, kuten monet otaksuvat, niin todennäköisyys olla joutumatta taudin uhriksi kahden sellaisen yhdynnän jälkeen on (499/500) potenssiin kaksi. (499/500) potenssiin 365 (vuoden jokainen päivä yhdynnässä AIDS-ihmisen kanssa) on 1/2, on 50 % todennäköisyys olla saamatta ja saada AIDS.

Jos käyttää kondomia, riski pienenee 1/5000, joka päivä seksiä 10 vuoden ajan johtaisi 50 % todennäköisyyteen saada itselleen AIDS.

Jos partnerin tautitilannetta ei tunneta eikä hän kuulu mihinkään tunnettuun riskiryhmään, todennäköisyys saada AIDS ilman kondomia on 1/5000000 (yhdyntää kohti), kondomin kanssa todennäköisyys on 1/50000000. Tuollaisen seikkailun jälkeen on suurempi todennäköisyys kuolla kotimatkalla auto-onnettomuudessa.

Tärkeä osa tulosääntöön ja binomikertoimiin läheisesti liittyvästä taustasta on todennäköisyyden binomijakauma. Se esiintyy aina, kun menetelmän tai kokeen tuloksena saattaa olla ”onnistuminen” tai ”epäonnistuminen” ja ollaan kiinnostuneita, millä todennäköisyydellä saadaan R onnistumaan N:ssä kokeessa.
Jos 20 % kaikista virvokeautomaatista tulevista juomista pursuaa yli mukin laidan, millä todennäköisyydellä kolme kymmenestä seuraavasta mukillisesta vuotaa yli laidan?
Todennäköisyys sille, että ensimmäiset kolme mukia täyttyvät liikaa ja seitsemän seuraavaa ei, n todennäköisyyslaskennan tulosäännön mukaan (0,2)potenssiin kolme x (0,8) potenssiin seitsemän. Mutta on monta eri tapausta, jolloin kymmenestä mukista täsmälleen kolmesta juoma tulee yli laidan ja jokaisen todennäköisyys on (0,2) potenssin kolme x (0,8) potenssiin seitsemän.
Koska on yhteensä (10x9x8)/(3x2x1)= 120 tapaa valita kymmenestä mukista kolme, binomijakauman todennäköisyys sille, että täsmälleen kolmen mukin juoma vuotaa yli reunojen, on 120x (0,2) potenssiin kolme x (0,8) potenssiin seitsemän.
Enintään kolmen ylitäyden mukin todennäköisyys löydetään laskemalla ensin täsmälleen kolmen ylitäyden mukin todennäköisyys ja lisäämällä siihen täsmälleen kahden, yhden ja nollan ylitäyden mukin todennäköisyydet, jotka voidaan laskea samalla tavalla. On olemassa taulukoita ja hyviä approksimaatioita, joita voidaan käyttää näiden laskujen lyhentämiseksi.

Todennäköisyys sille, ettei joudu minkäänlaisten tautien, tapaturmien tai muiden onnettomuuksien uhriksi. Jokainen saattaa olla 99 prosenttisesti varma, ettei kuole auto-onnettomuudessa, kun taas 98 % meistä saattaa välttää menehtymisen kotitapaturmassa. Mahdollisuus välttää keuhkotauti on ehkä 95 %, dementia 90 %, syöpä 80 % ja sydänsairaudet 75 %.

JAP muistuttaa, että vaikka mahdollisuus välttää jokin tietty tauti tai onnettomuus saattaa olla rohkaiseva, todennäköisyys välttää ne kaikki ei sitä ole. Jos kerromme keskenään kaikki em. todennäköisyydet (olettaen, että nämä katastrofit ovat suuressa määrin riippumattomia), tulos muuttuu aika nopeasti harmillisen pieneksi: riski on vähemmän kuin 50 %.
Yhteensattumat ovat yleisempiä kuin luullaan

Sigmund Freud huomautti kerran, ettei yhteensattumaa ole olemassakaan. Carl Jung puhui synkronismin mysteereistä. Ihmiset puhuvat kohtalon ironiasta, JAPn mukaan nämä yhteensattumat ovat paljon yleisempiä kuin useimmat ihmiset tajuavat.

Taipumus vahvasti aliarvioida yhteensattumien lukuisuutta on erittäin tunnusomaista numerotaidottomille henkilöille. Yleensä he antavat suuren merkityksen kaikenlaisille vastaavuuksille, mutta pitävät aivan ratkaisevaa, joskin vähemmän säihkyvää tilastollista tosiasiaa liian vähäpätöisenä.

Jos he näkevät unen, joka näyttää toteutuvan - tätä pidetään todisteena jostakin ihmeellisestä ja salaperäisestä harmoniasta, joka jotenkin vallitsee heidän ikiomassa universumissaan.

JAPn mukaan mikään kokemus ei ole masentavampi kuin sellaisen henkilön tapaaminen, joka näyttää älykkäältä ja avarakatseiselta, mutta tiedustelee heti paikalla horoskooppimerkkiäni ja alkaa sitten luetella henkilökohtaisia luonteenpiirteitäni (riippumatta siitä minkä merkin hänelle ilmoitan).

Tarvitaan 23 henkilöä, jotta saataisiin 50 % varmuus siihen, että joukossa esiintyy jokin yhteinen syntymäpäivä. Tarvitaan suuri määrä ihmisiä, tarkalleen ottaen 253, jotta saataisiin 50 % varmuus sille, että joku joukon henkilöistä olisi syntynyt esim. 19. maaliskuuta.

Siis jokin epätodennäköinen tapahtuma todennäköisesti tapahtuu, kun taas on paljon todennäköistä, että niin käy jossain tietyssä tapauksessa. Paradoksaalinen johtopäätös on, että olisi hyvin epätodennäköistä, ettei epätodennäköisiä tapahtumia esiintyisi. Jos ennustettua tapahtumaa ei yksilöidä täsmällisesti, niin sellaista yleistä laatua oleva tapahtuma voi esiintyä lukemattomalla eri tavalla.

Jos ennustus on hyvin epämääräinen, niin jonkin ennustuksen kaltaisen tapahtuman todennäköisyys on hyvin suuri, vaikka tarkat yksityiskohtaiset ennustukset toteutuvat harvoin.

On huomattavasti todennäköisempää, että jonkun tv-evankelistaa katselevan vatsavaivat helpottuvat, kun evankelista kertoo ääneen oireita, kuin että jonkun määrätyn katselijan vaivat helpottuvat.

Samoin laaja-alaiset vakuutukset, jotka korvaavat kaikki vahingot tulevat yleensä pitemmän ajan kuluessa edullisemmiksi, kuin jonkin tietyn taudin tai tietyn matkan varalta otettu vakuutus.


Jos kerrot kuudelle henkilölle juorun, se voi levitä maapallon läpi


Psykologi Stanley Milgrim teki kokeen: hän antoi jokaiselle satunnaisesti valitun ryhmän jäsenelle dokumentin ja (eri) ”kohdehenkilön”, jolle tämä dokumentti piti toimittaa. Ohjeena oli, että jokaisen piti lähettää dokumentti sellaiselle tuntemalleen henkilölle, joka todennäköisesti tunsi "kohdehenkilön" ja hänen tuli neuvoa tätä henkilöä tekemään samoin, kunnes "kohdehenkilö" tavoitettaisiin. Milgrim totesi, että välilenkkien lukumäärä vaihteli 2-10, viisi oli yleisin luku.
Tämä teoreettiseen todennäköisyyslaskentaan perustuva päättely antaa viitteitä siitä, miten luottamuksellinen tieto, huhut, juorut ja vitsit tihkuvat niin nopeasti läpi väestön.

Pörssihuijaus

Sijoitusneuvojia on kaikkialla ja luultavasti voitte löytää sellaisen, joka sanoo melkein kaiken, mitä ikinä haluatte tietää. He ovat tavallisesti itsevarmoja, kuulostavat hyvin virallisilta ja puhuvat kummallista kieltä optioista, julkihuudoista ja kupongeista. Vaatimattoman kokemuksensa mukaan JAP kertoo, etteivät useimmat tiedä, mistä puhuvat, mutta on todennäköisesti sellaisiakin, jotka tietävät.

Jos olette saanut postitse joltain sijoitusneuvojalta 6 peräkkäisen viikon ajan oikeat ennusteet tietystä osakeindeksistä ja teiltä pyydetään maksua seitsemännestä samanlaisesta ennusteesta, maksaisitteko?

JAP kertoo esimerkin: joku sijoitusneuvojana esiintyvä henkilö panee logon jollekin tekaistulle lomakkeelle ja lähettää 32000 kirjettä mahdollisille sijoittajille. Kirjeissä kerrotaan hänen yhtiönsä tehokkaasta tietokonesysteemistä, hänen taloudellisesta asiantuntemuksestaan ja sisäpiirin yhteyksistään.
Hän ennustaa 16000 kirjeessä, että jokin tietty osakeindeksi nousee ja lopuissa 16000 kirjeessä, että se laskee.
Tekee indeksi kumpaa tahansa, nousee tai laskee, lähetetään seurantakirje, mutta vain niille 16000 ihmiselle, jotka alun perin ovat saaneet "oikean" ennusteen.
Nyt 8000 ennustetaan nousua ja 8000 laskua osakeindekseissä, mitä tahansa tapahtuukin, niin 8000 ihmistä on saanut kaksi oikeaa ennustetta.
Nyt 4000 ennustetaan nousua ja 4000 laskua osakeindekseissä, tuloksetta riippumatta 4000 ihmistä on saanut kolme täysin oikeaa ennustetta.
Nyt iteroidaan 2000-->1000-->500, kunnes 500 ihmistä on saanut kuusi täysin oikeaa "ennustetta". Nyt tästä muistutetaan näitä 500 ihmistä ja heille kerrotaan, että saadakseen edelleen tämän arvokkaan tiedon seitsemättä viikkoa varten, jokaisen on maksettava 500 dollaria. Jos he kaikki maksavat, neuvojamme saa 250 000 dollaria.

Jos näin tehdään tietoisesti ja vilpillisessä tarkoituksessa, se on rikollista huijausta. Kuitenkin sitä pidetään hyväksyttävänä, jos sitä tietämättään tekevät vilpittömät, mutta oppimattomat pörssin uutiskirjeiden julkaisijat tai puoskarilääketieteen harjoittajat tai television herätyssaarnaajat.

Oletko saanut kirjettä Valittujen Palojen suurarvonnassa että olet sen ja sen joukossa tai oletko saanut netin kautta tarjousta, josta ei voi kieltäytyä?

Aina on JAPn mukaan riittävästi satunnaista menestystä, mikä tekee melkein mitä tahansa oikeutetuksi sille, joka haluaa uskoa.

Ihmiset jotka kokeilevat onneaan eivätkä menesty, ovat yleensä hiljaa kokemuksestaan. Mutta aina tulee olemaan joitakin, jotka menestyvät tavattoman hyvin ja he vannovat suureen ääneen käyttämänsä systeemin tehokkuuden puolesta. Toiset ihmiset seuraavat perässä ja syntyy muotihulluus, joka menestyy jonkin aikaa, vaikka sillä ei ole mitään perustetta.

Ihmisillä on vahva taipumus häivyttää mielestään paha ja epäonnistunut sekä keskittyä hyvään ja onnistuneeseen. Kasinossa jokainen voitettu kolikko peliautomaatissa aiheuttaa valojen vilkkumisen ja saa aikaan oman pienen kilahduksensa metallivadilla. Kun näkee kaikki nämä valot ja kuulee kaikki kilahdukset, ei ole vaikeaa saada vaikutelmaa, että kaikki voittavat.
Häviöt ja epäonnistumiset ovat hiljaa.

JAP: mittaustulosten suuren joukon keskiarvo on suunnilleen sama kuin pienen joukon keskiarvo, kun taas suuren joukon äärimmäinen arvo on huomattavan kaukana pienen joukon ääriarvosta.

Ihmiset keskittyvät tavallisesti voittajiin ja äärimmäistapauksiin. Ennen radion, television ja elokuvan tuloa esimerkiksi muusikoille ja urheilijoille ja taiteilijoille saattoi kehittyä uskollinen kotiyleisö, koska he olivat parhaita, mitä useimmat näistä ihmisistä olivat koskaan nähneet. Nykyisin yleisö (1989 Usassa) ei edes maaseudulla tyydy paikallisiin huvituksiin, vaan vaatii huipputason lahjakkuutta. Tässä mielessä tiedostusvälineet ovat tehneet hyvää yleisölle ja pahaa esittäjille.


Odotusarvot: verikokeesta nopan heittoon, vakuutusmaksun määräytyminen



Yhteensattumat ja ääriarvot osuvat silmään, mutta keskiarvot tai "odotusarvot" ovat yleensä valaisempia.
Muuttuvan suureen odotusarvo on yksinkertaisesti sen mahdollisten arvojen painotettu keskiarvo, missä arvot on kerrottu niiden todennäköisyyksillä.

Yksinkertaisen esimerkin tarjoaa vakuutusyhtiö. Oletetaan, että vakuutusyhtiöllä on syytä otaksua, että joka vuosi keskimäärin yksi sen 10000:sta kotivakuutuksesta johtaa 200 000 dollarin korvausvaatimukseen, 1/1000 kotivakuutuksesta johtaa 50000 dollarin korvausvaatimukseen, 1/50 kotivakuutuksesta johtaa 2000 dollarin korvausvaatimukseen ja loput 0 dollarin korvausvaatimukseen.
Vakuutusyhtiö haluaa tietää, paljonko se keskimäärin joutuu maksamaan vakuutusta kohti. Vastaus on odotusarvo, mikä tässä tapauksessa on (1/10000x200000 dollaria)+(1/1000x50000 $)+(1/50x2000$)+(9789/10000x0$)= (20+50+40$)= 110 dollaria. Vakuutusyhtiö kauppaa edullista kotivakuutusta 200 dollarilla kuluttajalle.

Peliautomaattivoitto määräytyy samalla tavalla. Kaikki voitot lasketaan niiden todennäköisyyksillä ja nämä tulot lasketaan yhteen, jolloin saadaan voiton odotusarvo.
Jos esim. kaikkien kolmen kiekon pysähtyessä kirsikkakuvioon pelaaja saa 80 dollaria, ja tämän tapauksen todennäköisyys on (1/20) potenssiin kolme (oletamme että jokaisessa kiekossa on 20 kuviota, joista vain yksi on kirsikka), kerromme 80 dollaria luvulla (1/20) potenssiin kolme. Sitten lisäämme tähän tuloon kaikki muut voitot (pitäen häviötä negatiivisena tuloksena) kerrottuna niiden todennäköisyyksillä. Sitten vain määrätään yksittäisen pelin hinta niin, että laite voittaa aina.

JAPn kuvitteellinen esimerkki: Joku klinikka tekee verikokeita etsien tiettyä tautia, jota noin 1/100 sairastaa.  Ihmiset tulevat klinikalle 50 henkilön ryhmissä ja laitoksen esimies pohdiskelee kannattaisiko nämä 50 näytettä kaataa samaan astiaan ja tutkia ne yhdessä pikemmin kuin tutkia ne yksitellen.
Jos yhteisnäyte on negatiivinen, koko ryhmä voitaisiin todeta terveeksi, ellei, jokainen Henkilö voitaisiin tutkia erikseen. Jos esimies päättää yhdistää verinäytteet, mikä on tarvittavien kokeiden lukumäärän odotusarvo?

Klinikalla täytyy suorittaa joko yksi koe ( jos yhdistetty näyte on negatiivinen) , tai 51 koetta ( jos se on positiivinen). Todennäköisyys, että joku yksityinen henkilö on terve on 99/100, joten todennäköisyys sille, että kaikki 50 ihmistä ovat terveitä, on (99/100) potenssiin 50. Toisaalta todennäköisyys sille, että ainakin yksi sairastaa tätä tautia, on komplementaarinen todennäköisyys [1-(99/100) potenssiin 50]. Siten välttämättömien kokeiden lukumäärän odotusarvo on (1 koe x 99/100 potenssiin 50)+(51 koetta x [1-(99/100)potenssiin 50])= noin 21 koetta.

Jos verikokeessa on suuri määrä ihmisiä, klinikan esimies tekisi viisaasti, jos hän ottaisi jokaisesta näytteestä osan, ne kaadettaisiin yhteen ja tämä yhdistetty näyte tutkittaisiin ensin. Jos olisi tarpeellista, niin sitten voitaisiin tutkia yksitellen loput 50 näytteestä. Tämä vaatisi keskimäärin vain 21 näytettä 50 ihmisen tutkimiseen.

Pelurin harhaluulo on kuvitella, että mikäli lantin heitossa on tullut kruuna monta kertaa peräkkäin, on todennäköisempää saada seuraavalla heitolla klaava (sama pätee rulettiin ja nopanheittoon).  Lantin tapauksessa voi kulua erittäin pitkä aika ennen kuin onni kääntyy, usein pitempi aika kuin keskimääräinen ihmisikä.

Useimmat ihmiset eivät tiedä, että satunnaisilmiöt saattavat vaikuttaa verrattain hyvin järjestetyiltä.  Tietyn alan ihmiset ovat analysoineet satunnaisilmiöitä ja löytäneet kuvioille vakuuttavia "selityksiä".

Pörssin tietyn osakkeen tai yleensä pörssin päivittäiset nousut ja laskut eivät mitä ilmeisimmin ole täysin satunnaisia, mutta varmuudella voidaan sanoa, että niihin liittyy erittäin suuri määrä satunnaisuutta.
Hyvin muotoilut ja jälkiviisaat analyysit, joita kommentaattorit antavat, sisältävät aina tietyn joukon tunnusmerkkejä, joihin he voivat vedota selittäessään jonkin kurssin nousua tai laskua. Milloinkaan kommentaattori ei yleensä sano, että pörssin toiminta jonain päivänä tai jopa viikkona oli suurelta osin seurausta satunnaisista heilahduksista.

Satunnaisessa jonossa esiintyvät toistot ja kuviot voidaan jossain määrin ennustaa. 20 rahan heittoa, ensin 10 kruunaa ja sitten 10 klaavaa, siinä sanotaan olevan täsmälleen yksi sarja kruunia.
20 heittoa, vuorotellen kruunia ja klaavoja, kymmenen sarjaa kruunia. Kumpikaan näistä jonoista ei vaikuta satunnaisesti syntyneeltä.

Jos 20 lantin heitossa on kuusi sarjaa kruunia, on todennäköisempää, että se on syntynyt sattumalta.

Psykologit Amos Tversky ja Daniel Kahneman ovat analysoineet noin 50 % korintekovarmuuden omaavien ammattikoripalloilijoiden onnistuneiden ja epäonnistuneiden heittojen muodostamia jonoja. Ne näyttivät olevan täysin satunnaisia, ts. koripallossa ei näytä olevan sellaista ”tähtipelaajaa”, joka pystyisi tekemään epätavallisen pitkän sarjan peräkkäisiä koreja. Heitetyt sarjat johtuivat todennäköisesti vain sattumasta.
20 kertaa heittää ottelussa koria kohti: ainakin neljä peräkkäistä koria todennäköisyys melkein 50 %, viisi peräkkäistä koria 20–25%, kuusi peräkkäistä koria todennäköisyys on noin 10 %.

Samanlainen todennäköisyyslaskentaan perustuva kuvaus on mahdollista esittää harvinaisten ilmiöiden yhteydessä. Ensin on välttämätöntä tietää, kuinka harvinainen tapahtuma on kyseessä. Kun tiedetään, miten harvinainen tapahtuma on kyseessä, voidaan käyttää tätä tietoa ja Poissonin jakautumaa ja saada varsin täsmällinen tieto tapahtumasta. Tässä mielessä jopa erittäin harvinaiset tapahtumat ovat ennustettavissa.


Pseudotieteet


JAP kertoo: Kun loogikko Raymond Smullyanilta kysyttiin, miksi hän ei usko astrologiaan, hän vastasi olevansa Kaksonen ja Kaksoset eivät usko astrologiaan.

William Cowper: typerien edelläkävijöiden seuraaminen ja molempien silmien ummistaminen on helpompaa kuin ajatteleminen.

JAPn mukaan mikä tahansa hölynpöly voidaan ohjelmoida tietokoneelle - astrologia, biorytmit, I Ching - mutta se ei tee tästä hölynpölystä yhtään uskottavampaa.

Eräs Freudin läheisimmistä ystävistä, Wilhelm Fliess-niminen lääkäri, keksi biorytmisen analyysin, joka perustui otaksumaan, että ihmiselämän erilaiset vaiheet noudattavat syntymästä alkaen tarkkaa jaksollisuutta.
Fliess kiinnitti Freudin huomion siihen, että luku 23 oli jonkin metafyysisen miehisen perustoiminnan jakso ja naisilla vastaava luku li 28. Näillä luvuilla oli sellainen erikoinen ominaisuus, että mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää niiden monikertojen summana tai erotuksena.
Tämä teki Freudiin niin suuren vaikutuksen, hän uskoi palavasti biorytmeihin vuosia ja arveli kuolevansa 51: n vuoden iässä, koska 51=23+28.
Nyt on kuitenkin niin, ettei vain luvuilla 23 ja 28, vaan kaikilla suhteellisilla alkuluvuilla (eli kahdella luvulla, joilla ei ole yhteistä tekijää) on sama ominaisuus.
Jokainen kokonaisluku voidaan esittää niiden monikertojen yhdistelmänä. JAPn mukaan jopa Freud kärsi numerotaidottomuudesta.

JAPn mukaan Freudin teorian rasitteena on vakavampikin ongelma.
Freudilaisia ennusteita on mahdoton todistaa oikeiksi.
Oikeaoppinen psykoanalyytikko voi esimerkiksi ennustaa tietyn tyyppisen neuroottisen käyttäytymisen. Mikäli potilaalla ei sitten ilmenekään ennustettuja oireita, vaan jotakin aivan muuta, niin analyytikko voi selittää vastakkaisen käyttäytymisen " reaktion muodostukseksi".

Moliere on kuvannut satiirisesti vastaavan sekaannuksen pannessaan mahtailevan tohtorin ilmoittamaan, että hänen unijuomansa on tehokas, koska sillä on unettava vaikutus.

Vastaavasti kun marxilainen ennustaa, että " omistava luokka" tulee riistämään kansaa ja sen sijaan tapahtuukin päinvastaista, hän voi tulkita tuloksen omistavan luokan yritykseksi saada " työtä tekevä luokka" sopeutetuksi.
Tai JAPn mukaan ennustus " Jumalan tahto toteutuu aina" kuuluu samaan luokkaan.

Aina näyttää olevan varauloskäytäviä, joiden kautta päästään mihin tahansa.

JAPn mukaan pyrkimys sekoittaa tosiasiat sisällyksettömiin loogisiin formulointeihin johtaa löysään ajatteluun.

ESP (aisteista riippumaton havainto) liittyy parapsykologiaan.  Ainoa keino ESPn tutkimiseksi on tilastollinen koe. Tehdään tarpeeksi kokeita ja tutkitaan, onko oikeiden vastausten määrä riittävän suuri sulkemaan pois sattuman mahdollisuuden. Jos sattuma voidaan sulkea pois, eikä muita selityksiä ole, ESP on todistettu oikeaksi.

Jeanne Dixon-ilmiö (saanut nimensä itsensä meedioksi julistaman JDn mukaan): suhteellisen harvat oikeaan osuneet ennustukset kuulutetaan kaikkialle, joten ne sen tähden yleisesti muistetaan, kun taas paljon lukuisimmat väärät ennustukset sopivasti unohdetaan tai niihin ei kiinnitetä huomiota.

JAPn mukaan supermarkettien lehdet ja uudenaikaiset aikakauslehdet ovat aivan yhtä vähä-älyisiä.

Tulisilla hiilillä kävelemistä, joka tapahtuu iltaisin (mikä korostaa viileän yöilman ja ympäröivän pimeyden vastakohtaisuutta) voi helpottaa se, että vedettömässä puussa on erittäin alhainen lämpöpitoisuus ja hyvin alhainen lämmönjohtokyky. Tietenkin kvasiuskonnollinen puhe mielen hallinnasta on vetoavampaa.


Ennustavat unet


JAPn mukaan on eräs aisteista riippumattoman havainnon laji - ennustavat unet. Jokaisella on Matilda-täti, joka on nähnyt hyvin selvän unen. Jos on nähnyt sellaisen unen ja ennustettu asia tapahtuu, on vaikea olla uskomatta selvänäköisyyteen.
JAPn mukaan sellaiset tapahtumat voidaan rationaalisemmin lukea yhteensattuman syyksi.

Olettakaamme, että tietty uni eräiltä selkeiltä yksityiskohdiltaan vastaa jotakin todellisen elämän tapahtumaketjua todennäköisyydellä 1/10000.
Vuoden aikana toteutumattomien unien todennäköisyys on (9999/10000) potenssiin 365, mikä on noin 0,964. Tästä voi päätellä, että 96,4 % niistä ihmisistä, jotka näkevät unia joka yö, näkevät vain toteutumattomia unia yhden vuoden aikana.
3,6 % ihmisistä, jotka näkevät unia joka yö, näkevät ainakin yhden ennustavan unen. Se merkitsee miljoonia unia Yhdysvalloissa. Selitykseksi ei tarvita mitään parapsykologisia ominaisuuksia. Näennäisesti ennustavien unien yleisyys ei edellytä mitään selitystä. Sen sijaan tarvitaan selityksiä, ellei tällaisia unia esiintyisi.

Astrologia on hyvin laajalle levinnyt pseudotiede. 1986 gallup-tutkimus kertoi, että 52 % teini-ikäisistä uskoi horoskooppiin. JAPn mielestä tämä on huolestuttavaa, sillä on pelottavaa ajatella, mihin muuhun tai keneen he uskovat.
Ihmiset näkevät yleensä epämääräisissä astrologisissa ilmauksissa melkein kaiken, minkä haluavat, ja siten liittävät niihin totuutta, mitä itse ilmauksissa ei ole.


Vilpillisiä parannusmenetelmiä


JAPn mukaan lääketiede on otollinen alue pseudotieteelliselle toiminnalle hyvin yksinkertaisista syistä. Useimmat sairaudet tai vaivat a) paranevat itsestään, b) rajoittuvat itsestään, c) kuolemaankin johtavina ne ovat harvoin nopeasti eteneviä. Kunkin tapauksen kohdalla mitättöminkin toimenpide saattaa osoittautua suhteellisen tehokkaaksi.

JAPN mukaan: Tehoton hoito on paras aloittaa, kun potilaan tila heikkenee. Mitä tahansa tapahtuukin, se voidaan tällä menetelmällä helposti lukea potilaalle tehdyn ihmeellisen ja todennäköisesti kalliin toimenpiteen ansioksi.
Jos potilaan vointi paranee, sekin on hoidon ansiota. Jos hänen tilansa pysyy ennallaan, tehty toimenpide on pysäyttänyt taudin etenemisen.
Toisaalta jos potilaan tila huononee, hoidon annos tai voimakkuus ei ole ollut riittävän suuri. Jos hän kuolee, niin hän oli lykännyt liian kauan hoitoon tuloa.

Joka tapauksessa ne harvat kerrat jolloin hoito onnistuu, todennäköisesti muistetaan (aika monet, jos kyseinen tauti on itsestään rajoittuva), mutta epäonnistumisen suuri enemmistö unohdetaan ja haudataan.

Kummallissakin tapauksissa on usein vaikeata todistaa jokin suositeltu hoito tai toimenpide ehdottomasti vääräksi. Asian ydin on, että aina löytyy porsaanreikiä, joiden avulla voi puolustaa mitä hyvänsä teoriaa.

JAPN mukaan: Olisi todella ihme, ellei mitään ”ihmeparanemista” olisi.

JAP muistuttaa, että eräs runoilija on todennut, lauseesta " En tiedä" on pitkä matka lauseeseen " Se ei ole totta" ja niiden välissä on järkeville ihmisille riittävästi tilaa tuntea olonsa ihan miellyttäväksi.

Filosofi Willard Van Orman Quine sanoo: kokemus ei koskaan saa ketään hylkäämään jotain tiettyä uskomusta.

Ei ole olemassa mitään selviä, helppoja laskumenetelmiä, jotka kaikissa tapauksissa antaisivat meille keinon erottaa tieteen pseudotieteestä, niiden välinen raja on liian epäselvä.

Luvut ja todennäköisyys ovat kuitenkin lähtökohtana tilastotieteessä. Yhdessä logiikan kanssa se muodostaa perustan tieteelliselle metodille, joka jos mikään, lopulta selvittää asiat.

Ehdollinen todennäköisyys= Elleivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia, A:n todennäköisyys ei ole sama kuin A:n todennäköisyys edellyttäen, että B on toteutunut.

Ehdollinen todennäköisyys sille, että on korttipelissä saanut kuninkaan, kun tiedetään, että se on kuvakortti - on 1/3. Kuitenkin ehdollinen todennäköisyys sille, että kortti on kuvakortti edellyttäen, että se on kuningas, on 1 eli 100 %.
Ehdollinen todennäköisyys selittää myös, miksi ventti on ainoa uhkapeli, missä kannattaa pitää mielessä aikaisemmat tapahtumat. Ruletissa ja nopanheitossa aikaisemmilla tapahtumilla ei ole mitään vaikutusta tulevien pyörähdysten tai silmälukujen todennäköisyyteen.

Ventissä todennäköisyys sille, että vetää korttipakasta kaksi ässää peräkkäin, ei ole (4/52x 4/52), vaan sen sijaan (4/52 x 3/51), jälkimmäisen tekijän ollessa ehdollinen todennäköisyys sille, että valitaan toinen ässä edellyttäen, että ensimmäinen kortti on ässä.
Tämä tosiasia, että ehdolliset todennäköisyydet vaihtelevat pakan jäljellä olevan osuuden mukaan, on perustana erilaisille venttiin liittyville laskemisstrategioille, joihin kuuluu se, että pidetään lukua, kuinka monta eri tyypistä korttia on jo vedetty ja lisätään vedon määrää, kun voiton todennäköisyys on (satunnaisesti ja vähäisessä määrin) pelaajan puolella.

Eräs mielenkiintoinen sovellus ehdollisen todennäköisyyden käytöstä tunnetaan nimellä Bayesin kaava. Sen keksi Thomas Bayes 1700-luvulla. Bayesin kaava on pohjana seuraavalle jokseenkin odottamattomalle tulokselle.

Olettakaamme, että on olemassa syöpätesti, joka on 98 % varma. Jos ihmisellä on syöpä, testi on 98 % tapauksista positiivinen. Jos ihmisellä ei ole syöpää, testi on 98 % negatiivinen. Oletamme lisäksi, että 0,5 % - yksi 200:sta ihmisestä - todella sairastaa syöpää.
Olette ollut testissä ja lääkäri ilmoittaa synkästi testin olleen positiivisen.
JAP pyytää katsomaan ehdollista todennäköisyyttä sille, että teillä on syöpä, että teidän testinne on positiivinen.

Kuvitelkaa, että on tehty 10000 syöpätestiä. Keskimäärin 50 ihmisellä näistä 10000:sta on syöpä (50= 0,5% 10000). Ja koska heistä 98 % testi on positiivinen, saamme siis 49 positiivista testiä. Niistä 9950:stä ihmisestä, joilla ei ole syöpä, 2% testi on positiivinen, siis yhteensä 199 positiivista testiä (0,02x9950=199). Näin ollen 248:n positiivisen testin kokonaismäärästä ( 199+49=248) useimmat (199) ovat vääriä positiivisia, ja ehdollinen todennäköisyys sille, että testi on positiivinen on siis 49/248, eli 20%. ( Tämä suhteellisen alhainen prosenttiluku eroaa huomattavasti siitä, että testi on positiivinen syöpää sairastavalla henkilöllä, jolloin luvun arvioidaan olevan noin 98 %).

Tämä testituloksen yllättävän pieni prosenttiluku, jonka alun perin oletimme olevan 98 % luokkaa, antaa lainlaatijoille ajattelemisen aihetta, kun he suunnittelevat pakollista tai yleistä testausta. Positiivisia testituloksia saaneiden ihmisten leimaaminen, varsinkin kun useimmat tulokset saattavat olla erheellisesti positiivisia, on hyödytöntä ja väärin.


Logiikka ja pseudotieteet


Päättelysäännön " A:sta seuraa B" sekoittaminen käänteiseen päättelyyn " B:stä seuraa A" on hyvin tavallinen erehdys.
Hieman epätavallisemmassa muodossa sama asia ilmenee pääteltäessä, että mikäli lääke X parantaa taudin Y, niin Y:n täytyy johtua X:n puutteesta.
Jos jokin lääkeaine lievittää skitsofrenian oireita, tämän aineen puuttuminen on varmaan syynä skitsofreniaan.
Kovin moni ihminen ei usko, että koska aspiriini parantaa päänsäryn, niin aspiriinin puuttuminen verenkierrosta saa sen aikaan.

Monesti on hyvin vaikea osoittaa vääräksi väitettä jonkin asian olemassaolosta, ja tätä vaikeutta pidetään todisteena väitteen uskottavuudelle.  JAP ei pysty todistamaan, että lumimiehellä ei olisi pientä maatilkkua Havannan lähellä.
Mahdottomuus sitovasti kumota joitakin väitteitä ei anna väitteille mitään todistusvoimaa.

JAP koettaa selvittää miksi numerotaidottomuus on niin yleistä, jopa muuten valistuneiden ihmisten keskuudessa. Syyt ovat huono opetus, psyykkiset estot ja romanttiset väärinkäsitykset matematiikan luonteesta.

Osasyyllisiä JAPn mukaan alkeiskoulujen yleensä huonoon opetukseen täytyy viime kädessä olla opettajien, jotka eivät ole tarpeeksi hyviä ja jotka eivät osoita kiinnostusta tai arvostusta matematiikkaa kohtaan.

Vie’te alkoi vuonna 1579 käyttää algebrallisia muuttujia, kuten x, y, z tuntemattomien suureiden symbolina. Olkoon tuntematon suure x, laaditaan ensin yhtälö, jonka x toteuttaa ja ratkaistaan se. Tällöin löydetään x arvo.

Yhtälöiden ratkaisemiseen tarvittavat menetelmät ymmärretään usein varsin hämärästi.

1600-luvun alussa Descartes keksi menetelmän, jossa tason pisteet liitettiin reaalilukupareihin, mikä teki mahdolliseksi samaistaa algebralliset yhtälöt geometrisiin käyriin. Analyyttinen geometria, joka kehittyi hänen kriittisen tarkkanäköisyytensä pohjalta, on välttämätön differentiaali- ja integraalilaskennan ymmärtämiseksi.

Geometria on 2500 vuotta vanha, kreikkalaisten kehittämä, missä lähdetään liikkeelle muutamista (ilmiselvistä) lauseista ja muut teoreemat johdetaan niistä yksinomaan loogisin perustein.

Kouluaikana on mahdollista vaikuttaa oppilaisiin. Heidän siirryttyä korkeakouluihin on monen kohdalla liian myöhäistä tehdä mitään, jos heiltä puuttuvat riittävät tiedot algebrassa ja analyyttisessä geometriassa.

Matemaatikot perustelevat JAPn mukaan haluttomuuttaan kirjoittaa suurelle yleisölle työnsä vaikeatajuisuudella. JAPn mukaan on melkein aina mahdollista esittää miltä alalta tahansa älyllisesti rehellinen ja kiinnostava esitys käyttäen minimimäärää teknistä välineistöä. Näin kuitenkin tehdään hyvin harvoin, sillä useimpien pappiskuntien jäsenillä (matemaatikot mukaan lukien) on taipumus kätkeytyä salaperäisyyden verhon taakse ja keskustella vain pappistovereiden kanssa.


Numerotaidottomuus ja taipumus itsekeskeisyyteen


JAP mukaan: Matematiikan persoonattomuus on eräs merkittävä psykologinen tekijä. Jotkut ihmiset suhtautuvat asioihin ylen määrin itsekeskeisesti ja vastustavat objektiivista näkökulmaa. Koska luvut ja persoonaton suhtautuminen maailmaan liittyvät läheisesti yhteen, tämä psykologinen vastustus myötävaikuttaa melkein tahalliseen numerotaidottomuuteen.

Parhaassa tapauksessa liian tiukasti elämäänsä keskittyneet ihmiset pitävät sellaisia kysymyksiä itselleen vieraina, jotka eivät keskity itseen, perheeseen tai ystäviin. Pahimmassa tapauksessa jopa itselleen tympäännyttävinä.

Numeriikka ja ”tiede” kiinnostavat näitä ihmisiä vain siinä tapauksessa, että ne koskettavat heitä henkilökohtaisesti. Usein heitä vetävät puoleensa kaikenlaiset uskomukset, kuten tarotkortit, astrologia ja biorytmit, koska ne antavat heille henkilökohtaisesti suunnattuja viestejä. Sellaisia ihmisiä on melkein mahdotonta saada kiinnostumaan numeerisesta tai tieteellisestä tosiasiasta sen itsensä tähden tai siksi, että se on kiehtova tai kaunis.

JAPn mukaan persoonallisuutemme määräytyy hyvin pitkälle sen mukaan, mitkä vaikutelmat torjutaan ja mitkä omaksutaan. Mielikuvitukseen vetoavat ja henkilökohtaisina koetut asiat muistetaan ja niiden vaikutusta sen vuoksi liioitellaan.
Jos ei ole sisäistänyt tätä psykologista taipumustaan numerotaidottomuuteen, se saattaa supistaa arvostelukykyämme.

On syytä muistaa, että harvinaisuus sinänsä pääsee julkisuuteen, mikä saa harvinaiset asiat näyttämään jokapäiväisiltä.

Yhdysvalloissa 1989 tupakoinnin aiheuttamien kuolemantapausten lukumäärä vastasi suunnilleen kolmen täyteen lastatun suuren suihkukoneen tuhoutumista vuoden jokaisena päivänä eli vuosittain yli 300000 amerikkalaista.

Alkoholin väärinkäyttö, joka oli välitön kuolinsyy 80000–100000 tapauksessa vuosittain ja lisäksi osasyyllinen 100000 kuolemassa.

Jos arkipäiväiset ja yleisluonteiset tapahtumat torjutaan, suurin osa jäljelle jäävistä asioista on hämmästyttäviä poikkeuksia ja yhteensattumia ja ihmisten ajatukset alkavat muistuttaa sensaatiolehtien otsikoita.

Synnynnäinen pyrkimyksemme etsiä tarkoitusta ja mallia voi viedä meidät harhaan, jollemme pidä mielessämme, että sattuma on läsnä kaikkialla. Tämä on taipumuksestamme torjua tavanomainen ja yleinen meidän yhä mutkikkaammasta maailmastamme.

Pyrkimys liittää jotakin mielekkyyttä satunnaisilmiöihin on varsin yleistä.
Hyvin älykkäiden vanhempien voidaan olettaa saavan älykkäitä jälkeläisiä, mutta yleensä lapsista ei tule yhtä älykkäitä kuin vanhempansa. Tämä on esimerkki liukumisesta kohti keskiarvoa, satunnaismuuttujan saamien arvojen kasautumisesta keskiarvon ympäristöön.
Tämä ilmiö johtaa mielettömyyteen, kun ihmiset katsovat liukumisen kohti keskiarvoa aiheutuvan jostakin erityisestä tieteellisestä syystä, eivätkä näe sitä seurauksena satunnaismuuttujan normaalista käyttäytymisestä.

Psykologit Amos Tversky ja Daniel Kahneman ovat tutkineet sellaista tilannetta, jossa lento-oppilaita kiitettiin hyvien laskeutumisten jälkeen, kun taas pomppivien laskeutumisten jälkeen heitä moitittiin.
Lennonjohtajat erehtyivät pitämään lento-oppilaiden huonontumisen syynä kehumista ja vastaavasti heidän suoritusten parantumisen syynä saatuja moitteita. Kuitenkin molemmissa tapauksissa oli yksinkertaisesti kysymys liukuminen kohti todennäköisintä keskiarvosuoritusta.

JAP muistuttaa, että jos meillä ei ole suoraa todistetta tai teoreettista perustetta jonkin tarinan totuudesta, huomaamme, että tarinan yksityiskohtaisuus ja värikkyys ovat kääntäen verrannollisia sen uskottavuuteen.
Mitä enemmän mehukkaita detaljeja tarina sisältää, sitä vähemmän todennäköistä on, että se on totta.

Ihmiset pyrkivät välttämään riskiä tavoitellessaan voittoa, mutta valitsevat riskin välttääkseen tappion.

Kysymyksen tai väitteen muotoilu on hyvin merkittävä vastauksen kannalta.


Matematiikan pelko



JAPn mukaan psykologisia illuusioita yleisempi syy numerotaidottomuuteen on matematiikan pelko.
Ihmiset jotka pystyvät ymmärtämään keskustelun hienoimmatkin tunnevivahteet, kirjallisuuden mutkikkaimmat juonet ja oikeusjutun sekavimmatkin kiemurat eivät näytä pystyvän tajuamaan matemaattisen todistuksen alkeellisimpia perusteita.
Heillä ei näytä olevan minkäänlaista matemaattista viitekehystä eikä mitään perusymmärrystä, jolle päättelyn voisi rakentaa.
Pahamaineiset sanalliset matemaattiset tehtävät kauhistuttavat heitä ja he ovat vakuuttuneita omasta tyhmyydestään.
Ei lainkaan hämmästytä, että näistä tunteista muodostuu tehokas este matematiikan ymmärtämiselle.
JAPn mukaan lukemaan oppii kirjoittamalla ja selittämällä matemaattinen ongelma selkeästi jollekin toiselle matematiikkaa.

JAPn mukaan matematiikka on liian tärkeä jätettäväksi vain matemaatikoille.

Matematiikan luvut ajatellaan tekevän maailmasta epäpersoonallisen ja vähentävän yksilöllisyyttä. Oikeutettu on huoli siitä, että monimutkaiset ilmiöt muutetaan yksinkertaisiksi matemaattisiksi kaavoiksi tai tilastoiksi.

JAPn mukaan mielikuvitukselliset matemaattiset termit ja valtavat määrät tilastollisia korrelaatioita ja tietokonetulosteita eivät saa aikaan ymmärtämistä, yhteiskuntatieteilijöiden väitteistä huolimatta.
Monitahoisen älykkyyden tai kansantalouden esittäminen jonkun numeerisen asteikon avulla, olkoonpa kysymys älykkyysosamäärästä tai bkt:stä, on parhaassa tapauksessa likimääräisyyttä ja usein yksinkertaisesti naurettavaa.
Tästä huolimatta JAPn mukaan tuntuu typerältä vastustaa, että ihmiset erityistarkoituksia varten identifioidaan numeroiden avulla (sosiaaliturvatunnus, luottokortit jne.). Jos mikään, niin numero näissä yhteyksissä korostaa yksilöllisyyttä.

JAP on aina huvittunut pankkien mainoksista, jotka ylistävät heidän henkilökohtaista palveluaan, mikä merkitsee sitä, että huonosti koulutettu ja alipalkattu pankkineiti sanoo " hyvää huomenta" ja alkaa sitten penkoa asiakkaan papereita. JAP asioi mieluummin koneena kanssa, joka tuntee hänet jollakin koodinimellä, mutta jonka tietokoneohjelmia ohjelmoijat ovat tunnollisesti laatineet kuukausien ajan.

JAPn mukaan ihmisillä on myös eräs yksi harhakäsitys matematiikasta, nimittäin se, että se rajoittaa ja on jotenkin ristiriidassa inhimillisen vapauden kanssa.
Jos ihmiset hyväksyvät tietyt väitteet ja heille osoitetaan, että niistä seuraa joitakin epämiellyttäviä tosiasioita, he yhdistävät vastenmieliset totuudet niiden johtamiseen käytettyyn menetelmään.

Jos lähtökohdat ka määritelmät hyväksytään, on hyväksyttävä myös niiden seuraukset, mutta usein lähtökohdat voidaan hylätä tai määritelmät voidaan muotoilla toisin tai valita erilainen matemaattinen käsittelytapa. Tässä mielessä matematiikka on pakollisuuden täydellinen vastakohta, se antaa uusia mahdollisuuksia ja on kaikkien halukkaiden käytettävissä.

Matematiikkaa voidaan käyttää oletustemme ja arvostustemme määrittelemisessä, mutta nämä oletukset ja arvostukset riippuvat meistä itsestämme, eivät mistään matemaattisesta jumaluudesta.

Aina on väitteitä, joita ei voida todistaa oikeiksi eikä vääriksi. Matematiikka ei ole mekaanista eikä täydellistä edes teoreettisessa mielessä.

Ihmisillä on myös se ennakkoluulo matematiikkaa kohtaan, että matematiikan tutkiminen jotenkin vähentää tutkijan luonnonrakkautta ja " suurten kysymysten ymmärtämistä". Siinä on yhtä paljon järkeä kuin väitteessä, että molekyylibiologian asiantuntemus estää ihmistä arvostamasta elämän mysteerejä ja monimutkaisuutta.


Logaritmi, koulualgebran hirviö



Luvun logaritmi on se luku a, jolle 10 potenssiin a on sama kuin kyseinen luku.
Luvun 100 logaritmi on siten 2, koska 10 potenssiin 2 = 100. Logaritmi 10000:sta on 4, koska 10 potenssiin 4 = 10000. Luvun 10 potenssien välillä olevien lukujen logaritmit ovat kahden sitä lähinnä olevien 10 potenssien välissä. Esim. logaritmi 700:sta on luvun 2= logaritmi 100:sta ja luvun 3= logaritmi 1000:sta välissä. Se on itse asiassa noin 2,85.

Turvallisuusindeksin laskeminen: jos yksi henkilö X:stä kuolee jonkin tietyn toiminnan seurauksena joka vuosi, tuon toiminnan turvallisuusindeksi on yksinkertaisesti logaritmi X:stä.

1989 1/5300 kuoli joka vuosi auto-onnettomuudessa, minkä vuoksi autoiluun liittyvä turvallisuusindeksi oli suhteellisen alhainen 3,7 (logaritmi luvusta 5300).

Mitä korkeampi turvallisuusindeksi on, sitä turvallisempaa kyseessä oleva toiminta on.
Tiedotusvälineet ovat JAPn mukaan kiinnostuneempia vaarallisuudesta kuin turvallisuudesta: vaarallisuusindeksi voidaan määritellä luvuksi 10- turvallisuusindeksi.
Sellaisessa vaarallisuusindeksissä 10 vastaisi siis turvallisuusindeksiä 0 eli varmaa kuolemaa, ja alhainen vaarallisuusindeksi 3 vastaisi korkeaa turvallisuusindeksiä 7, eli yhtä kuolemantapausta 10 potenssiin seitsemän ihmistä kohden.

Sairauksien valvontakeskuksen mukaan tupakointi johtaa vuosittain arviolta 300 000 ennenaikaiseen kuolemaan Yhdysvalloissa, mikä vastaa yhden 800:sta amerikkalaisesta kuolemaa joka vuosi sydänsairauksiin, keuhkosairauksiin tai muihin tauteihin tupakoinnin seurauksena.

Luvun 800 logaritmi on noin 2,9, joten tupakoinnin turvallisuusindeksi on autoilun indeksiäkin alhaisempi.

Havainnollisempi tapa kuvata näiden kahden ehkäistävissä olevien kuolemantapausten lukumäärää on todeta, että tupakointiin kuolee joka vuosi (1989 Usassa) seitsemän kertaa paljon kuin yhdysvaltojen kansalaisia koko Vietnamin sodan aikana.
Indeksi ei tee eroa yleisyyden ja todennäköisyyden välillä. Toiminta voi olla hyvin vaarallista, mutta erittäin harvinaista, johtaen vähäiseen kuolemantapausten määrään, joten sillä on suuri turvallisuusindeksi. Esim. pilvenpiirtäjien väliin pingotetulla vaijerilla käveleminen.

Indeksiä täytyy hiukan muuntaa tarkastelemalla vain sellaisia ihmisiä, jotka todennäköisesti osallistuvat kyseiseen toimintaan.
Jos yksi näistä X:stä henkilöstä kuolee, toiminnan turvallisuusindeksi olisi logaritmi X:stä.

Toimintoja tai sairauksia, joiden turvallisuusindeksi on suurempi kuin 6, voidaan pitää jokseenkin vaarattomina, koska niihin liittyy vähemmän kuin yksi kuolemantapaus miljoonasta vuoden aikana.
Kaikkeen missä turvallisuusindeksi on vähemmän kuin 4, pitäisi suhtautua varovasti, koska niihin liittyy enemmän kuin yksi kuolemantapaus 10000:tta kohti joka vuosi.

1989 joka viikko 12000 amerikkalaista kuolee sydän- ja verisuonisairauksiin, joten vuosittain näihin tauteihin kuolee 1 ihminen 380:sta, turvallisuusindeksin ollessa 2,6.
Syöpäsairauksien turvallisuusindeksi on 2,7. Pyöräily 5, salamaniskun 6,3 ja ampiaisen pisto 6,8.

Turvallisuusindeksi muuttuu ajan myötä. Keuhkokuume 1900 2,7, 1980 3,7. Samana aikana tuberkuloosi 2,7 -->5,8.


Murhan turvallisuusindeksi on Yhdysvalloissa 4 ja  Isossa-Britanniassa 6-7.


Turvallisuusindeksi antaa heti käsityksen suhteellisesta riskistä, se korostaa myös sitä ilmeistä tosiasiaa, että kaikkeen toimintaan liittyy tietty riski. Se antaa likimääräisen vastauksen tärkeään kysymykseen: kuinka suuri tämä riski on?

Taloustieteilijä Kenneth Arrow on todistanut, ettei ole mitään mahdollisuutta johtaa yksilöiden preferensseistä sellaisia yhteisöllisiä preferenssejä. Condorcet' n paradoksi osoittaa, että yhteiskunnallinen irrationaalisuus voi pohjautua yksilölliseen rationaalisuuteen.

Loogikko Robert Wolf keksi dilemman, joka paljastaa ristiriidan yksilön ja yhteiskunnan välille: oman edun puolesta toimiminen ei aina parhaiten palvele omaa etua.
Wolfin dilemma: filantrooppi on tuonut sinut ja 20 satunnaista tuttavaa tuodaan samaan huoneeseen. Kukaan teistä ei voi olla yhteydessä kenenkään toisen kanssa ja jokaiselle teistä annetaan mahdollisuus joko painaa nappia tai olla painamatta edessänne olevaa pientä nappia.
Jos olette kaikki painamatta nappia, jokainen teistä saa tältä ihmisystävältä 10 000 dollaria. Mutta jos ainakin yksi teistä painaa nappia, ne ryhmän jäsenet jotka painavat nappia, saavat 3000 dollaria ja ne jotka eivät paina, eivät saa mitään. Nyt kysytään painatteko nappia, jotta saisitte varmuudella 3000 dollaria vai ettekö paina ja toivotte, ettei sitä tee kukaan muukaan, jotta te saisitte 10 000 dollaria.

Wolfin dilemma tulee esiin tilanteissa, joissa pelkäämme jäävämme nuolemaan näppejämme, jos emme ole varuillamme.

Vangin dilemma: siinä kaksi suuremmasta rikoksesta epäiltyä miestä pidätetään heidän tehdessään jotain pienempää rikosta. Heidät erotetaan toisistaan ja heitä kuulustellaan. Kummallekin annetaan mahdollisuus tunnustaa suurempi rikos ja ilmiantaa toverinsa tai vaieta.
Jos molemmat vaikenevat, kumpikin saa vain yhden vuoden vankeutta. Jos toinen tunnustaa ja toinen vaikenee, tunnustanut saa palkkioksi vapauttamisen, kun taas toinen saa viiden vuoden vankeusrangaistuksen. Jos molemmat tunnustavat, he saavat molemmat kolme vuotta vankeutta. Yhteistoiminnallinen vaihtoehto on tunnustaminen.

Jälleen dilemma on, mikä heille yhteisesti on parasta. Vaikeneminen ja vuosi vankilassa jättää kummallekin avoimeksi pahimman vaihtoehdon, tunnustautua narriksi ja saada viiden vuoden tuomio. Lopputulokseksi tulee, että todennäköisesti molemmat tunnustavat ja viettävät kolme vuotta vankilassa.

Aina ei ole olemassa oikeaa vastausta, mutta osapuolten kannalta on parempi, jos kumpikin pyrkii välttämään kiusausta petkuttaa toista ja pyrkii sen sijaan olemaan luottamuksellisessa yhteistyössä.
Jos molemmat osapuolet ajavat yksipuolisesti omaa etuaan, tulos on huonompi kuin jos he tekisivät yhteistyötä.

Jos jonkin tietyn ”yhteisön” jäsenet eivät koskaan ryhdy yhteistoimintaan, heidän elämästään tulee, kuten Thomas Hobbes sanoo, " yksinäinen, köyhä, tylsä, brutaali ja lyhyt".


Todennäköisyyslaskenta alkoi uhkapeliin liittyvistä ongelmista 1600-luvulla.


Tilastotiede alkoi 1600-luvulla kuolleisuustilastojen keräämisestä. Deskriptiivinen tilastotiede, tämän alan vanhin ja ihmisille tutuin osa, jossa puhutaan prosenteista, keskiarvoista ja standardipoikkeamista.
Matemaattisen tilastotieteen ala käyttää todennäköisyyslaskentaa ennusteiden laatimiseen, väestön merkityksellisempien ominaispiirteiden arvioimiseen ja hypoteesien paikkansapitävyyden testaamiseen.

Hypoteesien paikkansapitävyyden testaaminen on periaatteeltaan yksinkertainen. Tehdään oletus (jota usein kutsutaan nollahypoteesiksi), suunnitellaan ja tehdään koe, sitten lasketaan, jotta nähtäisiin, ovatko kokeen tulokset riittävän todennäköisiä niiden oletusten pohjalta.

Jos ne eivät ole, oletus hylätään ja korvataan, joskus tilapäisesti, jollakin toisella hypoteesilla. Tässä mielessä tilastotiede suhtautuu matematiikkaan kuin teknillinen tiede fysiikkaan.

Tilastotiede on JAPn mukaan sovellettua tiedettä, joka perustuu älyllisesti stimuloivaan perustutkimukseen.

Esimerkki: hypoteesin mukaan ihmisen syntymäpäivillä ja kuolinpäivillä ei ole mitään yhteyttä toistensa kanssa. Oletetaan, että jossain tietyssä yhdyskunnassa arviolta 25 % kuolemantapauksista sattuu vainajan syntymäpäivää seuraavan 3 kuukauden aikana (ja 75 % yhdeksän muun kuukauden aikana).
Satunnainen otos 747:sta kuolinilmoituksesta, jotka on julkaistu sanomalehdissä Salt Lake Cityssä, Utahissa, vuonna 1977, osoitti, että otokseen kuuluneista vainajista 46 % oli kuollut 3 kuukauden kuluessa syntymäpäivästään.
Tässä tutkimuksessa nollahypoteesin mukaan suunnilleen 25 % vainajista olisi kuollut syntymäpäiväänsä seuraavan 3 kk aikana. Todennäköisyyden sille, että 46 % tai enemmän kuolisi tällä aikavälillä, voidaan arvioida olevan pieni, että se on käytännöllisesti katsoen 0. (Meidän täytyy ajatella, että vaihtoehtoisen hypoteesin mukaan 46 % tai enemmän kuolisi, eikä niin, että täsmälleen 46% kuolisi. Miksi?)
Voimme siten hylätä nollahypoteesin ja yrittää hyväksyä, että jostain kummallisesta syystä ihmiset todella näyttävät odottavan syntymäpäiväänsä asti ennen kuin kuolevat.


Virhetyyppi I ja II


JAP kertoo esimerkin: hän esittää hypoteesin, että tietyn alueen autoista on vähintään 15 % Corvetteja ja seurattuaan 1000 auton kulkua tämän paikkakunnan keskeisissä risteyksissä havaitsee niiden joukossa olevan vain 80 Corvettea. Todennäköisyyslaskentaa käyttäen hän laskee, että olettamuksensa huomioon ottaen tämän tuloksen todennäköisyys on selvästi alle 5 %, mikä on yleisesti käytetty "merkittävyyden taso". Sen tähden hän hylkää hypoteesi, että 15 % alueen autoista on Corvetteja.

Tämän tai minkä tahansa tilastollisen testin käyttämisessä voidaan tehdä kahdenlaisia virheitä, jotka on JAPn mukaan erittäin mielikuvituksellisesti nimetty tyyppi I ja tyyppi II virheiksi.

Tyyppi I virhe tapahtuu, kun oikea hypoteesi hylätään.

Tyyppi II virhe tapahtuu, kun väärä hypoteesi hyväksytään.

Jos siis suuri autonäytöksestä tulevia Corvetteja ajaisi tarkasteltavan alueen läpi, ja me sen tähden hyväksyisimme väärän oletuksen, että vähintään 15 % alueen autoista olisi Corvetteja, tekisimme tyyppi II virheen.
Jos toisaalta emme ottaisi huomioon, että useampia seudun Corvetteja ei ajettu, vaan pidettiin tallissa, niin hylätessämme oikean oletuksen tekisimme tyyppi I virheen.

Rahanjaossa stereotyyppinen liberaali yrittää välttää erityisen huolellisesti tyyppi I virheet (ansioituneet eivät saa osuuttaan), kun taas stereotyyppinen konservatiivi koettaa välttää tyyppi II virhettä (vähemmän ansioituneet saavat enemmän kuin osansa).
Rangaistuksia jaettaessa stereotyyppinen konservatiivi on huolestuneempi tyyppi I virheiden välttämisestä (syylliset eivät saa ansaitsemaansa rangaistusta) kun taas stereotyyppinen liberaali on huolestuneempi tyyppi II virheiden välttämisestä (syyttömät saavat epäoikeudenmukaisen rangaistuksen).

On ihmisiä, jotka moittivat Yhdysvaltojen lääkevalvontaviraston ankaruutta, että lääkettä X ei päästetä tarpeeksi pian markkinoille ehkäisemään kärsimyksiä ja paheksuvat kun lääke Y on päästetty käyttöön ennen aikaisesti ja se aiheuttaa vakavia komplikaatioita.
Lääkevalvontaviraston täytyy arvioida suhteellinen todennäköisyys tyypin II virheelle (hyväksyy huonon lääkkeen) ja tyypin I virheelle (ei hyväksy hyvää lääkettä).
Jokaisen ihmisen täytyy arkielämässään myös pohtia, hyväksyykö huonon (tyyppi II virhe) vai hylkää hyvän (tyyppi I virhe).

Pascalin vedonlyönti Jumalan olemassaolosta voidaan ilmaista valintana relatiivisen todennäköisyyden ja tyyppi I ja II virheiden seurausten välillä.

Pitäisikö meidän tunnustaa Jumala ja toimia sen mukaan sekä ottaa tyyppi II virheen riski (Hän ei ole olemassa) vai pitäisikö meidän kieltää Jumala ja toimia sen mukaan sekä ottaa tyyppi I riski (Hän on olemassa).

Kaikenlaiset päätökset voidaan sijoittaa tyyppi I ja II virheen kehyksiin ja ottaa käyttöön epätäsmällinen todennäköisyyden arviointi.

Vaikeampaa kuin tehdä tilastollisia arvioita, on päätellä, kuinka paljon niihin voi luottaa. Jos otos on laaja, voimme paremmin luottaa siihen, että sen pohjalta tehdyt johtopäätökset ovat lähellä koko väestön käsityksiä. Myös silloin, kun väestö ei ole liian laajalle levinnyt eikä liian kirjavaa, voimme suuremmalla varmuudella luottaa siihen, että otoksen oleelliset piirteet ovat tunnusomaisia koko väestölle.

JAPn mukaan voimme ns. Luottamusvälien (jotka ilmaisevat millä tarkkuudella otoksen tulokset edustavat väestöä kokonaisuudessaan) avulla esittää luottamuksemme tulokseen.
Voimme sanoa, että luottamustasolla 95 % presidenttiehdokas X:ää kannattavien äänestäjien luottamusväli on 45 % plus tai miinus 6 %.
Tämä tarkoittaa, että voimme olla 95 % varmoja, että X:n kannatus koko väestön keskuudessa on siis 39 % ja 51 % välillä koko väestöstä.

Mitä kapeampi luottamusväli tietyn suuruisissa otoksissa on, ts. mitä tarkempi on arvio, sitä pienempi on luottamustaso. Kääntäen, mitä laajempi on luottamusväli eli mitä vähemmän tarkka arvio on, sitä suurempi on luottamustaso.

Yleiskatsaukset tai mielipidemittaukset, joihin ei liity luottamustasoa ja luottamusvälejä, ovat usein epäluotettavia.

Jos luottamustasoa ja luottamusväliä ei ilmoiteta, hyvä nyrkkisääntö on, että satunnainen otos, jossa on vähintään 1000 elementtiä, antaa tarpeeksi kapean luottamusvälin useimpiin tarkoituksiin, kun taas vähemmän kuin 100 elementtiä käsittävä satunnainen otos antaa useimpiin tarkoituksiin liian leveän luottamusvälin.
Luottamusvälin leveys on kääntäen verrannollinen otoksen koon neliöjuureen.

Kun valittu satunnaisotos käsittää tuhat ihmistä, 95 % luottamustasolla ehdokas X:n tai koiranruoka Y:n kannattajien prosenttiluvun luottamusväli on suunnilleen plus tai miinus 3%.
Mielipidetutkimusten laatijat käyttävät usein tämän kokoisessa otoksessa miinus tai plus 4 % vastaamasta kieltäytyvien ja muiden vaikeuksien tähden.

Postin välityksellä tehtävissä mielipidemittauksissa täytyy kiinnittää erityisen suurta huomiota itsestään valikoituvien otosten välttämiseen, sillä kyselyihin vastaavat eniten asiaan sitoutuneet, kiihtyneet tai muuten ei-tyypilliset ihmisryhmät (näistä itsevalikoistuneista ryhmistä käytetään joskus osuvampaa nimitystä " junttausryhmä").

Aikakauslehdet ja sanomalehdet ovat surullisenkuuluisia siitä, että ne julkaisevat yksipuolisia tuloksia, jotka perustuvat lehdessä olleen kyselykaavakkeen vastauksiin.
Näihin epävirallisiin mielipidetutkimuksiin liittyy hyvin harvoin luottamusvälejä tai mitään tietoa käytetyistä menetelmistä, joten itsestään valikoituvan otoksen ongelma ei ole aina ilmeinen.

Itsestään valikoituvat otokset eivät anna sen enempää tietoa kuin luettelo meedion oikeista ennustuksista.
Jollei ennustuksista saa täydellistä luetteloa tai satunnaisesti valittua osajoukkoa, oikeat ennustukset eivät merkitse mitään.

Mielipidetiedustelujen tuloksilla ei ole merkitystä, ellei tiedustelun otos ole satunnaisesti valittu eikä se ole itsestään valikoitunut.

Lisäksi on itsestään valikoituvan tutkimuksen ongelma. Jos yritys teettää 8 tutkimusta, joissa vertaillaan sen oman tuotteen ja kilpailijan tuotteen hyviä puolia. 7/8 päätyy siihen, että kilpailijan tuote on parempi, ei ole vaikea ennustaa, mitä tutkimusta yhtiö Y siteeraa mainoksessaan.

Halu torjua ja valikoida tietoa ja halu saada satunnainen otos ovat ristiriidassa keskenään.


Satunnaisten otosten saaminen on vaikea taito, eikä mielipidetutkimusten laatija aina onnistu.


Tilastotieteessä pelin henki on saada tietoja suuresta väestöryhmästä tutkimalla pienen, satunnaisesti valitun otoksen ominaisuuksia.
Kysymykseen tulevat tekniikat - Francis Baconin numeroituvasta induktiosta nykyaikaisen tilastotieteen perustajien Karl Pearsonin ja R. A Fischerin hypoteesin testaamisen ja kokeiden suunnittelun teorioihin - perustuvat tähän ilmiselvään näkemykseen.

Suurten lukujen laki ilmaisee yksinkertaisesti, että ajan mittaan jonkin tapahtuman todennäköisyyden ja sen esiintymisen suhteellisen lukumäärän välinen erotus lähestyy raja-arvoa nolla.
Suurten lukujen laki antaa teoreettisen perustan sille luontevalle ajatukselle, että todennäköisyyslaskenta on eräänlainen opastin reaalimaailmaan, siihen, mitä todella tapahtuu.

Normaali kellonmuotoinen käyrä näyttää kuvaavan monia maailmassa tapahtuvia ilmiöitä. Raja-arvoväittämä antaa teoreettisen selityksen Gaussin normaalijakaumalle. Keskeinen raja-arvoväittämä ilmaisee, että hyvin monen mittaustuloksen summa (tai keskiarvo), noudattaa normaalijakaumaa, vaikka yksittäiset mittaustulokset eivät niin tekisikään.
Suureiden keskiarvot tai summat noudattavat yleensä normaalijakaumaa, vaikka yksittäiset suureet, joista ne muodostuvat, eivät sitä noudattaisikaan.

Korrelaatio ja kausaliteetti ovat aivan kaksi eri sanaa, numerotaidottomat ovat JAPn mukaan taipuvaisempia sekoittamaan ne keskenään.
Aika usein kaksi suuretta on korrelaatiosuhteessa keskenään kummankaan olematta toisen syy.

Puhtaasti satunnaisia korrelaatioita on paljon. Tutkimukset, joissa kerrotaan vähäisistä nollasta poikkeavista korrelaatioista kertovat usein pelkästään satunnaisista vaihteluista. JAPn mielestä liian suuri osa yhteiskunnallisesta tutkimuksesta on sellaisten merkityksettömien tietojen älytön kooste.

Regressioanalyysi pyrkii vertailemaan suureen X arvoja ja suureen Y arvoja.

Tuotteella jonka hintaa on korotettu 50 % ja sitten alennettu 50 %, on hinnan nettoalennus ollut 25 %.
Puku jonka hintaa on alennettu 40 % ja sitten vielä toiset 40 %, on halventunut 64 %, eikä 80 %.

Hyvä keino on omaksua yksinkertainen tapa kysyä aina itseltään: " Prosenttiluku mistä?".

Monille numerotaidottomille myös murtoluvut aiheuttavat JAPn mukaan turhautumia.
Kuinka 2/7 muunnetaan prosenttiluvuksi?

Naiset ansaitsevat erään amerikkalaisen tutkimukseen 59 % miesten keskiansioista.

Tilastotieteilijä Darell Huff mukaan siitä on puolikiinteä luku eli yhteydestään irrotettu luku, jonka alkuperästä ei ole tietoa eikä myöskään sen täsmällisestä merkityksestä.

Kun tilastot esitetään pelkkinä numeroina ilman mitään tietoa otoksen laajuudesta, koostumuksesta, määritelmistä, menetelmistä, luottamusväleistä, luottamustasoista jne., emme JAPn mukaan voi tehdä muuta kuin kohauttaa olkapäitä tai jos olemme riittävän uteliaita, yrittää löytää asioiden yhteys omin päin.

Satunnaisuutta ei ole helppo saavuttaa myöskään korttipelissä, sillä pakan sekoittaminen kaksi tai kolme kertaa ei riitä hajottamaan korttien järjestystä satunnaiseksi.  Tilastotieteilijä Persi Diaconis on osoittanut, että on tarpeellista sekoittaa kaksi pakkaa 6-8 kertaa.  Tietokoneen käyttö korttien asettamisessa satunnaiseen järjestykseen on paras, mutta epäkäytännöllinen tapa.


Tilastollinen merkitsevyys ja käytännöllinen merkitsevyys ovat kaksi eri asiaa.


Tulos on tilastollisesti merkittävä, jos on riittävän epätodennäköistä, että se on tapahtunut sattumalta. Tämä sinänsä ei merkitse paljoa.

Tavallisesti me JAPn mukaan törmäämme päinvastaiseen tilanteeseen. Tuloksella on mahdollisesti käytännöllistä merkitystä, mutta ei oikeastaan mitään tilastollista merkitystä. Kuuluisuuksien yksilöllisille mielipiteille ei ilmeisesti ole mitään syytä antaa tilastollista merkitystä.
Sama pätee erilaisiin kyselykaavakkeisiin. Tuskin koskaan näiden kyselykaavakkeiden pistelaskulle esitetään mitään tilastollista näyttöä. JAP kysyy, että miksi tulos 62 ilmoittaa, että mies on uskoton? Mistä tämä seitsemänosainen typologia on peräisin?

Ihmisillä on voimakas taipumus tahtoa kaikkea ja kieltää, että yleensä on välttämätöntä tehdä molemminpuolisia myönnytyksiä.

Opimme kvanttimekaniikasta, että kaikkein perustavinta laatua olevat mikrofysikaaliset ilmiöt ovat luonteeltaan satunnaisia.
JAPn mielestä maailman satunnaisen luonteen korostaminen on itse asiassa merkki kypsyydestä ja mielen tasapainosta.

Kiihkoilijoilla, tosiuskovaisilla, fanaatikoilla ja kaikenlaisilla fundamentalisteilla on harvoin mitään tekemistä niin häilyvän asian kuin todennäköisyyden kanssa. JAPn mukaan palakoot he kaikki helvetissä 10 potenssiin 10 vuotta (se oli vain leikkiä) tai pakotettakoon heidät käymään todennäköisyyslaskennan kurssi.

JAPn mukaan ei tarvita yhtään enemmän tosiasioita, vaan tunnettujen tosiasioiden parempaa ymmärtämistä ja sitä varten todennäköisyyslaskennan kurssi on korvaamaton.

JAPn mukaan kaikkien pitäisi paljon paremmin tuntea tilastolliset testit ja luottamustasot, ero kausaliteetin ja korrelaation välillä, ehdollinen todennäköisyys, riippumattomuus ja tulosääntö, estimointi ja kokeiden suunnittelu, odotusarvon ja todennäköisyyden jakautuman käsitteet, samoin kuin kaiken edellä olevan yleisimmät esimerkit ja vastaesimerkit. Todennäköisyys, kuten logiikkakin, ei enää ole pelkästään matemaatikkoja varten. Se tunkeutuu elämäämme joka puolelta.

10.1.2012